动态灰色模型在变形预测中的应用

1 引言

目前,国内外各种大型工程(如地铁、大坝、深基坑等)都需要安全监测,在进行工程质量数据预报时,使用较多的有统计模型、确定模型及混合模型。当原始数据较多时,这些方法都能获取不错的预测效果;但对于短序列数据,由于原始信息少,规律性不强,常规模型显得无能为力,此时动态灰色预测模型是解决此类问题的有效手段。

动态灰色预测模型是灰色系统理论的重要内容之一,该模型可以用来进行长期预测,具有所需信息量少,计算简单,模型预测精度高等优点。长期预测时,模型需要及时补充新信息来反映系统的真实变化,或在无新信息的情况下引入灰信息来淡化灰平面的灰度,从而提高长期预测的精度,称之为动态灰色预测模型。本文结合广州地铁变形监测数据详细分析和研究了两种动态灰色预测模型在此类问题中的应用。

2 灰色预测模型

灰色预测模型又称GM(GrayModel)模型,GM模型是一个近似的差分微分方程模型,具有微分、差分、指数兼容等性质,模型参数可调,结构随时间而变,突破了一般建模要求数据多,难以得到“微分”性质的局限[1]。利用GM模型可对所研究系统进行全局观察、分析及预测。根据预测因子的数目可细分为一阶多元预测模型GM(1,N)和一阶一元预测模型GM(1,1),实际中应用的较多的是GM(1,1)模型,下文主要讨论GM(1,1)的建立及其应用。讨论灰色模型之前,我们需要构造序列算子来生成灰色序列。

2.1 序列算子与灰色序列生成

灰色系统是通过对原始数据的挖掘、整理来寻求其变化规律的,这是一种寻找数据现实规律的途径,我们称之为灰色序列生成。灰色系统理论认为,尽管系统表象复杂,数据离乱,但它总是有整体功能的,因此必然蕴含某种内在的规律。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性, 显现其规律性。

冲击扰动系统的大量存在,导致了定量预测结果与人们直观定性分析结论大相径庭的现象经常发生。因此,寻求定量预测与定性分析的结合点,设法排除系统行为数据所受到的冲击干扰,还数据以本来面目,从而提高预测的命中率,乃是预测工作的首要问题。按上述步骤重新建立GM(1,1),预测新值,如此递补,文献[4]称此种方法为灰数递补动态预测模型。

此种模型中加入新的信息并非真值,而是来自模型预测,不断更新的灰数会淡化模型的灰度。若建模过程中,可以随时更新数据,加入最新真实信息(简称新息),则同样可按上述方法建立动态预测模型,文献[2]称之为新陈代谢灰色预测模型。

从预测角度来看,新陈代谢灰色预测模型是最理想的动态预测模型。随着系统的发展,老数据的信息意义将逐步降低,在不断补充新信息的同时,及时地去掉老新息,建模序列更能反映系统在目前的特征。尤其是系统随着量变的积累,发生质的飞跃或突变时,与过去的系统相比,已是面目全非。去掉已根本不可能反映系统目前特征的老数据,显然是合理的。此外,不断地进行新陈代谢,还可以避免随着信息的增加,建模运算量不断增加的问题。

另一方面模型预测精度受建模序列长度的影响较大,序列太短,模型难以反映系统真实行为特征,序列太长,模型受干扰因素太多,导致模型的不稳定且计算量增加。实际应用时可根据数据采样周期、预测长度要求及经验其他确定序列长度。有学者认为可加入等维的约束条件,建立等维动态预测模型[6]。

4 动态GM[1,1]模型在广州地铁变形监测中的应用实例及分析

广州大马站商业中心临近广州地铁一号线公园前站至农讲所站上行线区间,在该商业中心基坑开挖到地下室施工至±0.00高程期间,需要对临近的地铁隧道结构变形变位进行监测。监测采用了基于测量机器人的自动监测系统,实现列车运营条件下的不间断监测。

本文列举了已获取的沉降比较大的监测点D43点的沉降数据,整个数据变化序列走势见图1所示(纵坐标为沉降量,单位mm,横坐标为时间轴,单位为天)。为了建立准确稳定的动态GM[1,1]预测模型,考虑到数据采样周期为1天,预测长度为3-5天内,我们选取序列长度为10,预测步长为5。另外由于数据变化不太平稳,为了弱化这种趋势,为此本文引入了(1)式的一阶弱化算子,构造原始灰色序列来建模。

由于原始数据较多(共有232天观测纪录,且目前仍在继续跟踪其变化量)基本上反映了地铁建成后系统的状态变化,我们分别选取其中典型的四小段数据按照前文所述方法,分别建立两种动态灰色预测模型进行5天内预测,并与实际观测数据进行比较,其中序列一利用灰数递补预测模型,结果见表2,序列四利用新陈代谢灰色模型预测,结果见表3(表中每列前十个数据为模拟数据,后五个加粗数据为预测数据),图2为两种模型取所有预测结果横向比较图,每五个点为一组。

分析表3、表4及图2可得以下结论:

1)平均预测误差:序列一为0.0530,序列四为0.0064,最大预测误差:序列一为0.221,序列四为0.0263,且序列四的精度明显高于序列一,这与现实情况也是相符的。一方面序列一为早期观测数据,振动较大,而序列四已趋于稳定状态,受外界扰动影响较小;另一方面,序列一采用灰数递补预测模型,其更新信息属于灰数,而序列四采用新陈代谢模型,更新信息来自于实测数据。本例中灰数递补预测模型的精度为二级,而新陈代谢模型的预测精度等级可达到一级。

2)列预测相对误差比较可以发现,预测精度随预测步长增加而降低(新陈代谢模型尤其明显),这是因为对一个系统来说,随时间的推移,未来的一些扰动因素将不断进入系统而对其施加影响,用之进行长期预测必然会产生较大的偏差。行模拟相对误差比较可以发现,模拟精度随离原点(现在状态)距离增加而降低,是因为模拟点离现在相距越远,信息逐渐老化,不能真实反映系统目前状态,所以建立模型时需要进行信息的新陈代谢。因此,实时地加入新的信息,淘汰旧的信息,不仅可以突出系统最新的变化趋势,而且可以消除预测模型的噪声污染,对预测精度的提高也具有较好的作用。

3)实现结果分析与理论分析基本吻合,表明本文所建模型理论正确,精度合格,能够满足实际应用。